Open cursus Learn-flix: Bovenbouw
De afgeleide van machtsfuncties
Machtsregel
De machtsregel voor differentiëren kan hieronder worden gezien. \[\dfrac{\dd}{\dd x}(x^\blue{n})=\blue{n}\cdot x^{\blue{n}-1}\] Deze notatie ziet er wellicht lastig uit, dus wat staat er?
We vermenigvuldigen de functie met de originele macht en hierna wordt één van de macht afgehaald!
Voorbeelden
\[\begin{array}{rcl} \dfrac{\dd}{\dd x}(x^\blue{5})&=&\blue{5}\cdot x^{\blue{5}-1}\\&=&\blue{5}x^4 \\
&& \\
&& \\
f(x) &=& x^\blue{3}\\
f'(x) &=& \blue{3}\cdot x^{\blue{3}-1} \\
&=& \blue{3}x^{2}
\end{array}\]
Als we een machtsfunctie hebben met een constante ervoor, dan kunnen we deze simpelweg vermenigvuldigen met de afgeleide.
Machtsregel met een constante
\[\dfrac{\dd}{\dd x}(\orange{c}\cdot x^\blue{n})=\orange{c}\cdot\blue{n} \cdot x^{\blue{n}-1}\]
Voorbeeld
\[\begin{array}{rcl} \dfrac{\dd}{\dd x}(\orange{2}\cdot x^\blue{-3})&=&\orange{2}\cdot\blue{-3}\cdot x^{\blue{-3}-1}\\&=&-6x^{-4}\end{array}\]
Stel je voor dat er geen #x# staat, wat is dan de afgeleide? Dat wordt besproken in het volgende blok.
Afgeleide van een constante
De afgeleide van een constante (dus een getal waar geen #x# aan vast zit) #\orange{c}# is gelijk aan #0#. Dit kunnen we aantonen met behulp van #1=x^0# en #\orange{c}=\orange{c}\cdot 1#, dit gaat als volgt
\[\frac{\dd}{\dd x}\orange{c}=\frac{\dd}{\dd x}(\orange{c}\cdot 1)=\frac{\dd}{\dd x}(\orange{c}\cdot x^0)=\orange{c}\cdot 0 \cdot x^{-1} = 0\]
