Open cursus Learn-flix: Bovenbouw
Extreme waarden
Maxima en minima
De hoogste waarde van een deel van een grafiek noemen we een lokaal maximum.
De kleinste waarde van een deel van een grafiek noemen we een lokaal minimum.
Beide zijn extreme waarden van een functie.
We hebben gezien dat de lokale maxima en minima het hoogste punt op een deel van de grafiek zijn. De globale maxima en minima zijn het hoogste punt van de hele grafiek.
We kunnen met behulp van de afgeleide eenvoudig de extreme waardes van een functie berekenen.
Extreme waarde
Als een functie #\blue{f(x)}# een lokaal maximum of minimum heeft in #x=\orange{c}#, dan #\green{f'(\orange{c})}=0#. Dit is hartstikke logisch. Hoe loopt de raaklijn bij een maximum of minimum? Hij stijgt of daalt niet, hij is dus helemaal horizontaal! Dat betekent dat de helling daar 0 is. We vinden de #x# positie dus door de afgeleide gelijk te stellen aan #0#.
Voorbeeld
\[\begin{array}{rcl}&\blue{f(x)}&=&\blue{x^2 - 4x}\\ &\green{f'(x)}&=&\green{2x - 4}\\
\text{Regel:}& \green{f'(x)} &=&0 \\
\text{Invullen:}&\green{2x-4} &=& 0\\
&2x &=& 4\\
&x &=& \orange{2}\end{array}\]
Dat de afgeleide in een extreme waarde gelijk is aan #0# komt overeen met zeggen dat de raaklijn in het punt horizontaal is. In het plaatje hieronder zien we dit ook terug. Lees je het woordje maximum, minimum of extreme waarde, stel dan #f'(x)# gelijk aan 0!
Het berekenen van extreme waarden
|
Stappenplan |
Voorbeeld |
|
|
Bepaal de extreme waarden van een functie #f(x)#. Bepaal voor elke extreme waarde of het een lokaal minimum, lokaal maximum is of geen van beiden. |
#\qqquad \begin{array}{rcl}f(x)\phantom{'}&=&x^4-2x^2\end{array}# |
|
| Stap 1 |
Bereken de afgeleide #f'(x)#. |
#\qqquad \begin{array}{rcl}f'(x)&=&4x^3-4x\end{array}# |
| Stap 2 |
Los #f'(x)=0# op om #x#-coördinaten te vinden van de punten die mogelijk een extreme waarde zijn. Gebruik hiervoor je grafische rekenmachine! |
#\qqquad \begin{array}{rcl} 4x^3-4x&=&0\\ \green{x}&\green{=}&\green{0} \lor \blue{x=-1} \lor\orange{x=1}\end{array}# |
| Stap 3 |
Schets de grafiek om erachter te komen welke punten een lokaal maximum zijn en welke punten een lokaal minimum (en welke punten eventueel geen maximum of minimum) zijn. |
plaatje
|
| Stap 4 |
Substitueer de gevonden #x#-coördinaten in #f(x)# en bepaal zo de extreme waarden. |
#f(\blue{-1})=-1#,
#f(\orange{1})=-1#, #f(\green{0})=0# Dus lokaal minimum is #-1# en |
De kleinste waarde van #x# wordt met #x_-# aangegeven en de grootste waarde met #x_+#. Geef je antwoorden als een onvereenvoudigbare breuk.
| Stap 1 | We bepalen de afgeleide van #f(x)=x^3-4x^2+4x+4#. Deze is gelijk aan: \[f'(x)=3x^2-8x+4\] |
| Stap 2 | We bepalen de #x#-coördinaten van de mogelijke extreme waarden door de afgeleide gelijk aan #0# te stellen en de vergelijking op te lossen. \[\begin{array}{rcl}3x^2-8x+4&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{de op te lossen vergelijking}}\\ x=\frac{8-\sqrt{(-8)^2-4\cdot 3\cdot 4}}{2\cdot 3} &\lor& x=\frac{8+\sqrt{(-8)^2-4\cdot 3\cdot 4}}{2\cdot 3} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{abc-formule}}\\ x=\frac{8-\sqrt{16}}{6} &\lor& x=\frac{8+\sqrt{16}}{6} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}}\\ x=\frac{8-4}{6} &\lor& x=\frac{8+4}{6} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}}\\ x={{2}\over{3}} &\lor& x=2 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}}\end{array}\] |
| Stap 3 | We tekenen de grafiek van #f(x)#.  Dus er ligt een lokaal maximum bij #x={{2}\over{3}}# en een lokaal minimum bij #x=2#. Dus beide gevonden #x#-waarden horen bij een extreme waarde. Dus #x_-={{2}\over{3}}# en #x_+=2# |
